Résoudre les problèmes par l'intuition
Il existe deux types de chercheuses et chercheurs en mathématiques, explique Sarah Zerbes: «Certains et certaines élaborent des théories et ont une vision d'ensemble». Les autres se concentrent sur un problème particulier qui doit être résolu. «Je suis une résolveuse de problèmes», déclare cette Allemande de 43 ans, qui a été nommée l'automne dernier professeure de mathématiques à l'ETH Zurich. Les problèmes qu'elle traite concernent l'une des conjectures les plus célèbres et les plus mystérieuses des mathématiques. Elle a été proposée par deux mathématiciens britanniques, Bryan Birch et Peter Swinnerton-Dyer, en 1965, après avoir passé de nombreuses nuits à mener des expériences numériques sur ce qui était à l'époque le seul ordinateur de l'université de Cambridge. «De nos jours», dit Sarah Zerbes, «n'importe qui pourrait faire ces calculs sur un ordinateur portable».
Bryan Birch et Peter Swinnerton-Dyer (BSD en abrégé) n'ont pas réussi à prouver leur conjecture. En 2000, une fondation l'a inscrite comme l'un des sept grands problèmes mathématiques dont la solution serait récompensée par un million de dollars. «Il s'agit d'une classe d'équations très importantes en mathématiques, ainsi que pour certaines applications de cryptographie», explique Sarah Zerbes. «Elles sont appelées courbes elliptiques.» Le défi consiste à trouver certaines solutions pour ces courbes. «La conjecture BSD stipule que les solutions de ces équations sont déterminées par un objet qui provient, de manière surprenante, d'un tout autre domaine des mathématiques, à savoir les fonctions.» Cet objet est connu sous le nom de fonction L analytique complexe.
Un énorme réseau de nouvelles conjectures
La conjecture BSD est l'un des problèmes ouverts les plus importants dans le domaine de la théorie des nombres, mais elle a également ouvert un nouveau domaine de recherche. Il existe désormais un vaste réseau d'autres conjectures généralisant la conjecture BSD. «Avec mon mari, j'ai prouvé plusieurs nouveaux sous-problèmes dans ce réseau», explique Sarah Zerbes. Elle collabore avec son mari, David Loeffler, depuis de nombreuses années. Il est actuellement professeur invité à l'ETH Zurich, parallèlement à son poste de professeur titulaire à l'Université de Warwick, au Royaume-Uni, et travaille dans le même bureau du bâtiment principal de l'ETH Zurich que sa femme. «Partager un bureau n'est pas toujours facile, car il est très difficile de séparer nos vies personnelles de notre travail. Il nous arrive d'avoir des discussions animées», admet Sarah Zerbes, «mais nous nous complétons très bien.»
Contrairement à elle, son mari est un bâtisseur de théorie qui s'intéresse à la vue d'ensemble. «Il a une énorme bibliothèque dans la tête et il peut comprendre et catégoriser les choses directement.» Elle est moins douée pour cela, dit-elle: «Ma force, c'est l'intuition.» Ses meilleures idées lui viennent lorsqu'elle s'assoit simplement pour boire un café. «Je me concentre, je contemple et j'attends l'inspiration», dit-elle: «Je n'ai même pas besoin d'une feuille de papier pour cela.» Ce n'est que plus tard qu'elle écrit son idée dans son carnet ou sur le tableau de son bureau, accompagnée de beaucoup de discussions, de ratures et de réécritures. «D'abord, il faut toujours voir la structure globale. Ce n'est qu'ensuite que l'on peut commencer à travailler sur les détails, ce qui prend souvent des années», dit-elle. C'est aussi ce que Sarah Zerbes et David Loeffler ont vécu dans leur travail en rapport avec la conjecture BSD.
Une percée après huit ans
«Nous avons passé les huit dernières années à développer de nouveaux exemples de systèmes d'Euler», explique Sarah Zerbes. Nommés d'après le mathématicien suisse Leonhard Euler, ces systèmes sont des structures mathématiques très compliquées qui peuvent être utilisées pour prouver de nouveaux cas de cette conjecture. Une fois l'idée fondamentale née, le couple a pu terminer la première partie de son programme en quelques années. «Mais ensuite, nous étions bloqués», explique Sarah Zerbes. Pendant des années, il et elle n'ont fait aucun progrès, jusqu'à ce qu'elle et il s'envolent pour une conférence à Princeton, aux États-Unis. «Là, un mathématicien lyonnais a donné une conférence dans laquelle il a présenté un outil qu'il avait développé pour quelque chose de tout à fait différent», dit-elle, «mais c'était exactement ce qui nous manquait.» Bien que la mathématicienne et le mathématicien aient compris en quelques minutes qu'il et elle allaient maintenant réussir, il leur a fallu encore quatre ans, avec beaucoup de travail sur les détails. «Nous avons réalisé la percée l'année dernière», déclare Sarah Zerbes, avant de résumer en disant: «Nous avons eu beaucoup de chance.»
Mais le prix d'un million de dollars est encore hors de portée. Si l'on peut montrer que la conjecture BSD tient effectivement sous certaines conditions, il existe des cas que personne ne sait actuellement résoudre. «Nous ne le savons pas non plus», déclare Sarah Zerbes. «De plus, ce que nous avons prouvé n'est pas une partie de la conjecture originale, mais une partie d'une généralisation; il y a d'autres parties qui nécessiteraient une idée complètement nouvelle.» Le prix n'est donc pas ce qui motive leurs recherches. «C'est le problème lui-même qui est si fascinant», dit Sarah Zerbes: «sa profondeur, la complexité des arguments qui pourraient permettre de progresser, et la chance qu'il faut avoir pour progresser.»
En tant que théoricienne des nombres, elle se sent également liée à des générations de mathématiciennes et mathématiciens. «En Grèce antique, il y a 2'000 ans, on étudiait déjà certains des problèmes sur lesquels mes collègues et moi-même travaillons aujourd'hui», explique Sarah Zerbes. La théorie des nombres est l'une des plus anciennes branches des mathématiques. Elle traite principalement d'équations telles que le célèbre théorème de Pythagore: x2+y2=z2. Elle demande si l'on peut trouver des solutions entières ou rationnelles à ces équations. Dans le cas de Pythagore, on sait qu'il existe une infinité de nombres rationnels qui résolvent l'équation et qu'ils décrivent des triangles droits dont les côtés sont de longueur x, y et z. Des équations plus compliquées ont occupé les mathématiciennes et mathématiciens pendant des siècles et ont conduit au développement d'autres sujets, tels que la conjecture BSD.
Apprendre le latin comme une langue vivante
À l'école, Sarah Zerbes n'était pas initialement intéressée par les mathématiques; elle préférait le latin. «Cette langue est incroyablement analytique et logique», dit-elle. C'est quelque chose qui la fascine encore aujourd'hui. «Je suis en train d'apprendre le latin comme une langue moderne et parlée», dit-elle. Cela la dérangeait qu'on ne traduise que mot à mot à l'école et que, même après six ans de cours, elle soit toujours incapable de lire un texte couramment. Elle a maintenant trouvé un professeur qui enseigne le latin comme une langue vivante. «Les cours se déroulent exclusivement en latin, et nous discutons et lisons les textes anciens, ce qui est vraiment intéressant», dit-elle. Ce n'est que maintenant qu'elle remarque combien l'écriture de Cicéron était sarcastique, mais aussi drôle.
À l'école, elle ne s'intéressait pas aux mathématiques jusqu'à ce que, à l'âge de 14 ans, elle ait un professeur exceptionnel pendant six mois. «Avant cela, je ne comprenais pas du tout les mathématiques parce que tout était toujours présenté sous forme de problèmes de mots», explique Sarah Zerbes. Le nouveau professeur était excellent pour expliquer les concepts mathématiques. «Il était clair, abstrait et précis», se souvient-elle. Désormais très intéressée, lorsque ce professeur a été remplacé, elle a pris l'initiative d'aller chercher des livres de mathématiques à la bibliothèque. Après avoir passé ses examens de fin d'études, elle a demandé à étudier à la célèbre université de Cambridge, en Angleterre, et a été acceptée. Elle y a également obtenu son doctorat. Lorsqu'elle a été nommée professeure à l'University College de Londres, elle a invité le professeur qu'elle avait eu à l'école à assister à sa conférence d'introduction. «Il est venu, ce qui m'a fait très plaisir», raconte Sarah Zerbes. «Après tout, c'est son enseignement qui a fait toute la différence, car c'est à ce moment-là que j'ai vraiment commencé à aimer les mathématiques.»
Depuis, Sarah Zerbes a reçu de multiples prix et est l'un des plus grands spécialistes mondiaux de la théorie des nombres. Elle-même n'a jamais eu de mal à s'affirmer en tant que femme dans un environnement dominé par les hommes, mais elle connaît des femmes dans ce domaine qui ont été brimées en raison de leur sexe. «En général, je n'ai pas eu de mauvaises expériences», dit-elle, ajoutant: «J'ai dû développer une peau épaisse parce que j'ai souffert d'une perte de cheveux pendant 35 ans, ce qui m'a probablement aidé». Ou peut-être, dit-elle, a-t-elle simplement eu de la chance.
Alpinisme et escalade sur glace
Passer de l'Angleterre à la Suisse a été facile pour Sarah Zerbes. «L'ETH Zurich est l'une des meilleures universités du monde», dit-elle fièrement. «Les conditions de travail et les édutiantes et étudiants sont exceptionnels». En outre, une partie de sa famille vit dans le sud de l'Allemagne, et elle et son mari sont de fervents alpinistes. «J'aime particulièrement l'escalade sur glace», précise Sarah Zerbes, «que j'ai récemment pratiquée à Scuol, en Basse-Engadine.» Le couple passe la plupart de ses week-ends à la montagne, à skier en hiver, «pour avoir une autre perspective dans la nature», dit-elle, «parce que sinon, on s'enfonce dans un trou assez profond de problèmes mathématiques.» Elle fait de l'exercice presque tous les jours, notamment de la natation et de l'escalade. «L'exercice est important pour moi, comme un contrepoids à la recherche», dit-elle.
Elle trouve également la lecture relaxante. Son site web présente une longue liste de livres qu'elle a appréciés, notamment des ouvrages tels que Buddenbrooks de Thomas Mann et Les vestiges du jour de Kazuo Ishiguro. «Il existe peu de bons livres sur les mathématiques», déclare Sarah Zerbes. Il n'y en a qu'un qu'elle recommande: En ce qui concerne Roderer de Guillermo Martinez, mathématicien et romancier argentin. Le fait que les mathématiques ne soient guère accessibles au grand public ne dérange pas Sarah Zerbes. Elle est également heureuse de surmonter les nombreuses difficultés qui accompagnent ce domaine. Elle évoque le tout premier cours auquel elle a assisté à Cambridge, au cours duquel un professeur a déclaré que la recherche en mathématiques était amère et frustrante la plupart du temps. On se bat toujours contre les mêmes problèmes, ce qui peut être très épuisant sur le plan émotionnel. Mais ensuite, lorsque quelque chose fonctionne, le sentiment est indescriptible. «Je pense souvent à cela», dit-elle, «car c'est vraiment comme ça que ça se passe».
