EPFL

«La magie de 8 et 24»

Maryna Viazovska, professeure de théorie des nombres, a résolu une question mathématique qui hante les scientifiques depuis des siècles. Grâce à une approche créative et aux connaissances acquises dans le cadre de sa thèse, elle montre comment emballer des sphères dans un espace multidimensionnel de manière optimale, symétrique et en remplissant l’espace. Elle a reçu pour cela la médaille Fields, qui est considérée comme le «prix Nobel des mathématiques».

Ori Schipper 13.04.2023

Au début, il y a son carnet noir. Maryna Viazovska y consigne les résultats de son travail intellectuel: des formules compliquées. M. Viazovska est mathématicienne et professeure à la chaire de théorie des nombres de l’EPFL. La science du calcul, des nombres et des figures géométriques est sa passion. A 12 ans, elle avait participé avec succès aux olympiades de mathématiques scolaires dans son Ukraine natale. 25 ans plus tard, en 2022, à 37 ans, elle a reçu la prestigieuse médaille Fields, la «médaille internationale pour les découvertes exceptionnelles en mathématiques», selon le terme officiel. Cette distinction, qui porte le nom de son fondateur canadien, John Charles Fields (1864–1932), est décernée tous les quatre ans depuis 1936 et est considérée comme étant le «prix Nobel des mathématiques». Après 60 scientifiques, Maryna Viazovska est la deuxième femme à recevoir le précieux métal – selon la justification de l’Union mathématique internationale, qui décerne le prix, pour avoir «prouvé que la grille E8 fournit le paquet le plus dense de sphères identiques en huit dimensions, et pour d’autres contributions à des problèmes extrêmes apparentés».

Cela semble compliqué, et ça l’est: il s’agit de la question fondamentale de savoir combien de sphères identiques qui ne se chevauchent pas peuvent être contenues dans un volume donné. Les scientifiques s’intéressent à cette question depuis un certain temps. Le mathématicien allemand Johannes Kepler, par exemple, a affirmé dès 1611 que le meilleur moyen d’y parvenir dans un espace tridimensionnel était de construire une pyramide. Il n’avait cependant pas de preuve. Cette preuve n’a été apportée qu’en 1998. Cette question était donc résolue, du moins dans l’espace tridimensionnel. Toutefois, en mathématiques, il existe d’innombrables dimensions dans lesquelles la même question peut être posée. «C’est de l’abstraction pure», explique M. Viazovska. «Un espace tridimensionnel dispose de trois coordonnées, dans un espace à huit dimensions, un point a huit coordonnées.»

C’est à ce propos qu’elle a d’abord fait ses recherches. «Il s’agissait de savoir comment remplir l’espace abstrait de manière optimale avec des sphères jusqu’à la limite supérieure», explique la chercheuse. La dimension 8 s’est imposée parce qu’il existait des travaux préliminaires. Ainsi, Henry Cohn, mathématicien au Massachusetts Institute of Technology (MIT), et le scientifique de Harvard Noam Elkies avaient déjà démontré il y a plus de dix ans qu’il était possible d’obtenir un tassement presque parfait des sphères dans cette dimension – parfait, à un milliardième de pour cent près. M. Viazovska a continué à développer ces travaux, combinant différents domaines mathématiques et s’aidant également de «formes modulaires» – le sujet principal de sa thèse.

En mars 2016, après deux ans de travail intensif, elle a développé la fonction définitive et fourni la preuve, sur 23 pages, de l’empaquetage parfait des sphères dans un espace à huit dimensions. La communauté scientifique a été impressionnée, H. Cohn du MIT l’a félicitée et motivée pour étendre sa méthode à la dimension 24, la grille dite de Leech, utilisée pour construire des empilements de sphères très efficaces dans un espace à 24 dimensions. Une semaine plus tard, M. Viazovska, H. Cohn et deux autres scientifiques ont mis en ligne sur la plateforme open source arXiv.org un théorème prouvant la perfection de l’empaquetage avec la grille de Leech en dimension 24, confirmant ainsi l’intérêt de leur idée initialement développée pour la dimension 8.

«Il s’agissait de savoir comment remplir l’espace abstrait de manière optimale avec des sphères jusqu’à la limite supérieure.» Maryna Viazovska, professeure à l’EPFL

L’EPFL a remarqué cette jeune chercheuse talentueuse et l’a fait venir sur les rives du lac Léman en tant que professeure assistante. Par la suite, elle a publié les résultats de ses recherches dans les Annals of Mathematics, une revue spécialisée de premier plan. Depuis 2018, elle est professeure titulaire de théorie des nombres à l’EPFL. Son choix n’est pas dû au hasard: outre la réputation de la haute école, le fait qu’elle offre la possibilité d’une carrière duale a été déterminant. Son mari, également scientifique, a pu y trouver un emploi, permettant ainsi de concillier vie de famille et recherche au même endroit.

Les mathématiques sont présentes partout

«Je fais de la recherche fondamentale», explique M. Viazovska, mais avec l’objectif et l’espoir que ces recherches trouvent des applications, par exemple dans la résolution d’équations différentielles ou dans le traitement des signaux. Les mathématiques sont présentes partout dans la vie quotidienne, la plupart du temps sans que l’on s’en rende compte. «Sans mathématiques, pas de Skype», dit-elle, «ou pas d’horaire optimisé des CFF». Mais pour M. Viazovska, c’est «la magie de 8 et 24» qui compte. C’est également le titre du panégyrique prononcé lors de la remise de la médaille Fields.