Comment un changement de perspective a fait sensation

Les problèmes inverses sont la spécialité de Yunan Yang. «Notre vie quotidienne en est pleine», explique-t-elle. «Les ultrasons, par exemple, sont un problème inverse. Les appareils médicaux à ultrasons émettent des ondes sonores hors de notre champ d'audition qui se propagent dans le corps et enregistrent les ondes réfléchies. Un logiciel traite les signaux des ondes et montre ce qui se passe dans le corps. «Dériver l'image d'un bébé à partir des ondes est un problème inverse», explique la mathématicienne de 32 ans, Advanced Fellow à l'Institut d'études théoriques de l'ETH Zurich (ETH-ITS) depuis janvier 2022. «J'ai grandi en Chine, puis j'ai vécu aux États-Unis pendant huit ans, mais je n'avais jamais vécu en Europe», explique Yunan Yang. «C'est pourquoi je voulais venir à Zurich et collaborer avec des chercheurs et chercheuses de tout le continent.»

La détection des tremblements de terre peut également être considérée comme un problème inverse. Les signaux sismiques mesurés par les stations sismiques indiquent où se trouve la source du tremblement de terre et à quelle profondeur elle se trouve sous la surface. «Il s'agit là aussi d'un problème de traitement des signaux», explique Yunan Yang. Avec l'aide d'une autre théorie mathématique, sa solution au problème inverse des ondes sismiques a fait sensation parmi les experts. Cette théorie est appelée transport optimal.

Minimiser les coûts

«Il s'agit d'une très belle théorie qui remonte à 1781», explique Yunan Yang. Le mathématicien français Gaspard Monge s'est demandé comment transporter un tas de sable d'un endroit à un autre au coût le plus bas possible. Pour déterminer la carte de transport optimale, on additionne le coût de tous les mouvements - en d'autres termes, la masse multipliée par la distance - et on essaie de minimiser cette valeur.

«Le transport optimal est un problème facile à formuler mais très difficile à résoudre», explique Yunan Yang. Gaspard Monge n'a pas réussi à trouver la réponse. Ce n'est que dans les années 1940 que le problème a été suffisamment simplifié pour être résolu 20 ans plus tard, grâce à des ordinateurs plus performants. «Depuis les années 1990, nous apportons la touche finale à la théorie ; il existe des extensions, des algorithmes rapides et des applications», explique Yunan Yang.

Revenons aux ondes sismiques. «Nous ne pouvons pas observer le foyer d'un tremblement de terre à 200 kilomètres de profondeur», explique la mathématicienne. Cependant, les données sismiques peuvent être simulées à l'aide de mesures et de modèles physiques. Les ondes sismiques simulées sont comparées aux ondes réelles mesurées, et l'on tente de les faire correspondre et de minimiser les différences entre les deux. «Pour résoudre le problème, j'ai modifié la façon dont nous mesurons ces différences», explique Yunan Yang. «J'imagine que les ondes mesurées sont un tas de sable. Je simule ensuite un deuxième tas de sable et j'essaie de trouver la meilleure façon de les faire correspondre.» En termes mathématiques, Yunan Yang utilise une métrique différente pour mesurer les vagues, à savoir celle qui découle de la théorie du transport optimal.

Une rencontre fortuite

Yunan Yang explique qu'elle doit sa carrière de mathématicienne à une rencontre fortuite. Elle a commencé à étudier les sciences à l'Université de Zhejiang, en Chine. Au bout d'un an, elle a découvert que, même si les mathématiques étaient sa matière la plus difficile, c'était aussi la plus fascinante, et elle a donc choisi d'en faire son principal programme d'études. En tant qu'étudiante de premier cycle, elle s'est portée volontaire pour aller chercher des invité·es à l'aéroport de Shanghai. Deux d'entre elles et eux étaient Luis Caffarelli et sa femme, Irene Gamba, tous les deux argentino-américains et professeur·es de mathématiques à l'Université du Texas à Austin. À l'époque, Luis Caffarelli était déjà une sommité dans le domaine des équations aux dérivées partielles ; il avait récemment reçu le prix Abel, la récompense la plus prestigieuse pour les mathématiciennes et mathématiciens de plus de 40 ans.

«J'étais très enthousiaste et je les ai assailli·es de questions pendant les deux heures de route entre l'aéroport et l'université, ce qui, en y repensant, était un manque d'égards», raconte Yunan Yang. Luis Caffarelli et Irene Gamba ont patiemment répondu à ses questions et l'ont encouragée à s'inscrire à un programme de doctorat à Austin. Sa candidature a été retenue : «Un an plus tard, j'étais à Austin pour commencer mon doctorat et j'ai renoué avec elle et lui.»

L'ETH Zurich : la Mecque des mathématiciennes et mathématiciens

À l'époque, la faculté d'Austin comptait le mathématicien italien Alessio Figalli, qui a commencé à enseigner à l'ETH Zurich en 2016 et a reçu la médaille Fields en 2018 - une sorte de prix Nobel pour les mathématiciens et mathématiciennes de moins de 40 ans. En 2015, à UT Austin, Yunan Yang a suivi les cours d'Alessio Figalli, qui travaille également dans le domaine du transport optimal. Après avoir obtenu son doctorat, elle a rejoint l'Institut Courant de l'Université de New York, la meilleure école de mathématiques appliquées des États-Unis. C'est là qu'elle a rencontré Afonso Bandeira, qui a rejoint l'ETH Zurich en 2019. Lorsque son postdoc aux États-Unis a pris fin, l'ETH Zurich lui a semblé être la prochaine étape évidente, et Yunan Yang a postulé avec succès pour devenir Advanced Fellow à l'ETH-ITS.

«L'ETH Zurich est l'un des meilleurs endroits au monde pour faire de la recherche», dit la scientifique. Avec Alessio Figalli et un collègue de l'EPF de Lausanne, elle a récemment organisé un atelier international à Zurich sur la théorie et l'application du transport optimal.

Changer de métrique pour mesurer les ondes afin de résoudre des problèmes inverses en utilisant le transport optimal est devenu une technique assez répandue. Les outils issus de cette théorie sont aujourd'hui utilisés pour un large éventail d'applications. Par exemple, ils peuvent être utilisés dans l'apprentissage automatique - un autre domaine où les chercheurs et chercheuses cherchent à faire correspondre les données - ou pour déterminer la structure des molécules grâce à la microscopie électronique cryogénique.

Fuir la frustration

Le travail mathématique peut être frustrant. «Quatre-vingt-dix pour cent du temps, vous êtes bloqué ; ce n'est pas une bonne sensation», dit Yunan Yang. Pour se débarrasser des idées noires, elle sort courir à l'air libre. Après quelques semi-marathons, elle a couru le marathon pour la première fois cette année à Zurich. Elle aime aussi faire de la randonnée en montagne. «C'est tellement pratique ici - je prends le train comme les Suisses et Suissesses», dit-elle. L'enseignement est aussi une bonne distraction, dit-elle, parce qu'il s'agit de parler de choses qu'elle connaît : «C'est un stimulant pour la confiance en soi». En juillet, elle commencera à occuper un poste de professeure titulaire à l'Université de Cornell, aux États-Unis, ce qui inclut l'enseignement.

Le déménagement aux États-Unis a également des raisons personnelles : «Je vais me marier et mon fiancé est professeur à Cornell. Comparée à Zurich, la ville de l'université est petite mais aussi jolie, avec de nombreux lacs à proximité - un endroit idéal pour une vie de famille. «Travailler à l'ETH Zurich m'a donné l'occasion de nouer des relations et de travailler avec des personnes de différentes parties de l'Europe», déclare Yunan Yang. «Je souhaite poursuivre ces collaborations à l'avenir.»