Un véritable connaisseur des formes géométriques

Dans ses recherches, Alessandro Carlotto opère souvent à la frontière des mathématiques et de la physique : sa perspective est celle de l'analyse géométrique, qui - en termes simples - utilise les outils de l'analyse mathématique pour explorer la forme des objets dans l'espace et la manière dont ils se déforment dans le temps et sous l'influence de la courbure. Dans ce domaine, Alessandro Carlotto est considéré comme une étoile montante et comme «le meilleur jeune chercheur d'Europe continentale». Il recevra le prix Latsis 2022 de l'ETH Zurich lors de la Journée de l'ETH Zurich.

Ce prix est une reconnaissance de la poursuite par le mathématicien italien d'un programme de recherche très indépendant et riche, de sa réputation d'excellent conférencier et de l'obtention d'une bourse ERC Starting Grant 2020, qui est considérée comme un label de qualité pour une recherche excellente. Dans son éloge, la Commission de la recherche de l'ETH Zurich justifie la récompense d'Alessandro Carlotto comme suit : «Ses résultats profonds et très originaux couvrent un large spectre allant de la géométrie différentielle à la relativité générale. Ses travaux scientifiques ont eu un fort impact non seulement sur les mathématiques, où il s'est attaqué à de nombreux problèmes de longue date, mais aussi sur la physique théorique».

Penser les modèles physiques jusqu'au bout

En fait, la théorie générale de la relativité d'Albert Einstein et les problèmes mathématiques qui se posent en physique sont une source d'inspiration pour Alessandro Carlotto : «Je suis extrêmement intrigué par l'interaction entre les mathématiques et la physique, et j'aime le pouvoir prédictif du raisonnement mathématique». Dans ses recherches, le mathématicien part généralement d'un modèle physique donné qui décrit certains phénomènes naturels. Toutefois, à la différence d'un physicien, il ne se soucie pas vraiment de réviser ou d'affiner le modèle en question sur la base de données empiriques, mais plutôt - en utilisant la seule force de l'abstraction - d'en étudier les implications mathématiques et, partant, ce que les résultats déduits disent des phénomènes correspondants.

En suivant cette approche et en travaillant conjointement avec son directeur de thèse, le lauréat du prix Heinz Hopf 2017, Richard M. Schoen, de l'Université de Stanford et de l'Université de Californie à Irvine, il a découvert de nouvelles solutions localisées des équations de champ d'Einstein. Ces équations décrivent les forces gravitationnelles dans le cadre de la relativité générale. Cette théorie est désormais bien établie. Cependant, 100 ans après qu'Albert Einstein ait publié sa théorie générale de la relativité, Alessandro Carlotto et Richard M. Schoen ont pu apporter en 2015 la preuve rigoureuse de l'existence d'espaces-temps qui satisfont les équations de champ d'Einstein et présentent de vastes régions non délimitées où aucune gravité n'est perceptible, tout en contenant des régions de trous noirs et présentant ainsi des forces gravitationnelles extrêmement fortes. Dans le domaine de la recherche, ce phénomène est appelé «blindage gravitationnel» car les objets situés dans les premières régions sont totalement protégés de l'influence du champ gravitationnel des secondes. Dans la théorie newtonienne classique des champs, cela est impossible.

Le résultat d'Alessandro Carlotto et Richard M. Schoen est une bonne illustration du pouvoir prédictif des mathématiques mentionné plus haut, car leur travail a permis d'introduire ce blindage gravitationnel avant la conception de toute expérience acceptée et reproductible qui le démontre empiriquement. Nos solutions sont parfaitement compatibles avec les axiomes de la relativité générale. Cependant, elles présentent explicitement de nouveaux phénomènes d'une manière extrêmement surprenante et contre-intuitive», déclare Alessandro Carlotto.

Formes et courbures énigmatiques

Les concepts de forme et de courbure ont été essentiels tout au long de ses recherches, malgré la diversité des sujets abordés. Au sens le plus simple, les mathématiciennes et les mathématiciens comprennent la courbure comme étant la déviation locale d'une courbe par rapport à une ligne droite. Dans l'espace tridimensionnel que les gens connaissent dans la vie de tous les jours, la surface d'une sphère (contrairement à celle d'un beignet), par exemple, présente une courbure constante, tout comme un plan plat (la différence étant que la sphère est positivement courbée).

En mathématiques, il est très naturel et presque nécessaire de s'abstraire des espaces à deux dimensions pour passer à des espaces à plus hautes dimensions et de formuler des notions généralisées de courbure pour les objets à trois dimensions ou plus. Albert Einstein nous donne une bonne raison de le faire : le lauréat du prix Nobel de physique de 1921 a utilisé le langage de la géométrie différentielle pour décrire la courbure de l'espace-temps, qui est le «théâtre» quadridimensionnel où se déroulent les événements et qui constitue donc l'arrière-plan de sa célèbre théorie de la gravitation. La théorie des cordes fournit d'autres excellentes raisons de s'élever vers des dimensions supérieures, comme le font d'autres théories de la physique contemporaine. «Dans ces dimensions supérieures, les choses restent mystérieuses à bien des égards», déclare Alessandro Carlotto.

Parmi toutes les notions de courbure ou les façons de mesurer la forme des espaces (de toute dimension), Alessandro Carlotto privilégie la courbure scalaire. C'est l'objet de deux de ses travaux les plus récents et les plus influents. «Ces derniers temps, j'ai beaucoup réfléchi aux "espaces de solutions" pour certains problèmes géométriques et à leur aspect "dans l'ensemble"», explique Alessandro Carlotto.

Par exemple, en 2021, il a terminé un projet de quatre ans avec Chao Li, un chercheur travaillant à l'Institut Courant de l'Université de New York. En s'appuyant sur les travaux pionniers de nombreux et nombreuses scientifiques (notamment Hamilton, Perelman, Kleiner, Lott et Bamler), ils ont prouvé que, sur tout collecteur tridimensionnel compact, l'espace des métriques à courbure scalaire positive et à limite minimale est soit vide, soit contractible. «En d'autres termes, les déformations qui respectent les contraintes dictées par la courbure sont non obstruées au sens le plus fort du terme. Cette preuve fait appel à de nombreux outils que j'ai appris tout au long de ma carrière», déclare Alessandro Carlotto.

Le secret des interfaces

Les recherches d'Alessandro Carlotto ne se limitent pas à la physique mathématique : «Je suis toujours enthousiaste à l'idée d'envisager de nouveaux problèmes», dit-il. «Comme Albert Einstein, je crois que le progrès scientifique exige l'adoption d'une attitude opportuniste».

En fait, ces dernières années, son intérêt s'est étendu à divers thèmes et problèmes classiques de la géométrie différentielle. Par exemple, il a beaucoup étudié les surfaces minimales, dont les films de savon sont des exemples de «modèles jouets». Classiquement, elles sont présentées comme des surfaces qui minimisent l'aire (comparable en gros à l'«énergie élastique») parmi toutes les surfaces qui ont la même limite.

De telles surfaces minimales et interfaces similaires apparaissent également dans d'autres contextes. Considérons le modèle idéalisé suivant : deux fluides non miscibles se trouvent dans un récipient sphérique, chacun représentant une quantité égale de volume (la moitié du total) et supposons que la gravité est négligeable par rapport aux autres forces en jeu. Dans un tel cas, il existe des interfaces énergétiquement optimales pour séparer les fluides. Par exemple, dans un bocal à poissons rempli d'une quantité égale d'air et d'eau, l'interface la plus simple (en fait celle qui présente la plus petite surface possible) serait un disque plat passant par le centre du bocal.

Les mathématiciennes et mathématiciens se demandent maintenant quelles sont les configurations d'équilibre possibles et quelles formes pourraient avoir ces interfaces. Cette question de l'apparence d'autres interfaces «exotiques» possibles occupe les mathématiciens et mathématiciennes depuis près de 40 ans. En 2020, Alessandro Carlotto, Giada Franz et Mario Schulz ont résolu ce problème et prouvé qu'il existe effectivement un nombre infini d'autres états d'équilibre complexes dans une sphère euclidienne. Leurs surfaces limites sont formées par des surfaces minimales avec une limite connectée sur la surface de la sphère et un nombre arbitraire de «poignées». Mario Schulz, l'un des plus proches collaborateurs d'alessandro Carlotto et ancien élève de l'ETH Zurich, a conçu des approximations numériques précises de ces surfaces qui peuvent - entre autres - être imprimées par une imprimante 3D, fournissant ainsi des modèles concrets et tangibles de ces surfaces apparemment exotiques (cf. images ci-dessus).

Comme Alessio Figalli, lauréat de la médaille Fields 2018, Alessandro Carlotto est diplômé de la Scuola Normale Superiore de Pise : «La Normale - comme on l'appelle souvent en italien - est un endroit très spécial qui a changé ma vie à bien des égards.»

En ce qui concerne le prix d'Alessandro Carlotto, le professeur émérite de mathématiques Michael Struwe commente comme suit : Bien qu'il soit encore assez jeune, Alessandro est déjà un mathématicien accompli. Il possède une vaste vue d'ensemble non seulement du domaine de l'analyse géométrique, mais aussi des mathématiques modernes dans leur ensemble, ce qui est l'une de ses passions». Il ajoute : «Alessandro rend un service précieux au département, et son rôle très engagé en tant qu'enseignant universitaire est peut-être mieux illustré par le fait qu'en reconnaissance de l'aide qu'il a apportée aux étudiantes et étudiants pendant les phases les plus difficiles de la pandémie, et compte tenu des réactions extrêmement positives qu'il a reçues pour ses efforts, il a été invité à donner une conférence dans le cadre de la série «Refresh Teaching» de l'ancienne rectrice Sarah Springman sur le thème «Connecting to your students».

Alessandro Carlotto a rejoint l'ETH Zurich en 2015 en tant que Junior Fellow de l'Institut d'études théoriques. En mai 2016, le Conseil des EPF l'a nommé professeur assistant de mathématiques. À la fin du mois d'août 2022, il est retourné en Italie pour occuper un poste de professeur à l'Università degli Studi di Trento.